Teorema della probabilità assoluta

In teoria della probabilità il teorema della probabilità assoluta (detto anche teorema delle partizioni) afferma che se ${\displaystyle \ A_{1},\ldots ,A_{n}}$ formano una partizione dello spazio campionario di tutti gli eventi possibili ${\displaystyle \ \Omega }$ (ossia ${\displaystyle \ A_{i}\cap A_{j}=\varnothing \ \forall i\neq j}$ e ${\displaystyle \cup _{i=1}^{n}A_{i}=\Omega }$) e ${\displaystyle \ B}$ è un qualsiasi evento (dipendente dagli eventi ${\displaystyle A_{i}}$), allora:

${\displaystyle {\mbox{P}}(B)=\sum _{i=1}^{n}{\mbox{P}}(A_{i}\cap B)=\sum _{i=1}^{n}{\mbox{P}}(A_{i}){\mbox{P}}(B|A_{i})}$

Dimostrazione

La dimostrazione di questo risultato segue immediatamente dal fatto che:

${\displaystyle \ B=(A_{1}\cap B)\cup (A_{2}\cap B)\cup \cdots \cup (A_{n}\cap B)}$

dunque, per l'additività della probabilità, essendo gli eventi a due a due incompatibili:

${\displaystyle \ {\mbox{P}}(B)=\sum _{i}{\mbox{P}}(A_{i}\cap B)}$

Ma poiché, in base alla definizione di probabilità condizionata: ${\displaystyle \ {\mbox{P}}(A_{i}\cap B)={\mbox{P}}(A_{i}){\mbox{P}}(B|A_{i})}$, si ha:

${\displaystyle \ {\mbox{P}}(B)=\sum _{i}{\mbox{P}}(A_{i}){\mbox{P}}(B|A_{i})}$

come volevasi dimostrare.

Voci correlate

• Teorema della probabilità composta
• Teorema di Bayes

Collegamenti esterni

• (EN) law of total probability, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.